鸡兔同笼问题解析

鸡兔同笼,是中国古代著名典型趣题之一,记载于《孙子算经》之中。

现在有若干只鸡和兔在同一个笼子里。从上面数,有35个头。从下面数,有94只脚。问笼中各有几只鸡和几只兔。

通过枚举法解答

假如笼子里全是鸡,那么有35×2=70只脚,不足94只脚,因此应该有一些兔子。
假如有34只鸡1只兔子,那么有34×2+0×4=72只脚,不足94只脚。不止有1只兔子。
假如有33只鸡2只兔子,那么有33x2+2x4=74只脚,不足94只。不止2只兔子。
假如有32只鸡3只兔子,那么又32x2+2x8=80只脚,不足94只。不止3只兔子。
继续减少鸡的只数,逐渐增加兔子的只数。
当有23只鸡和12只兔子,刚好有23×2+12×4=94只脚,正好符合题意。
通过计算再减少鸡的只数,也没有合适的了。

假设法

方法一

假如笼子里全是鸡,即有35只鸡,那么有35 × 2 = 70只脚,还差94 - 70 = 24 只脚才跟笼子里的数量相同。因为一只兔子比一只鸡多两只脚,多出的脚是兔子的,每只兔子还差两只脚,所以兔子的数量24 ÷ 2 = 12只,其实笼子里有35 - 12 = 23只鸡。

方法二

让笼子里的鸡和兔子都抬起2只脚(这样既鸡飞起来,兔子只用2只后脚站着) ,那么笼子里少了35 × 2=70只脚,剩下的94 - 70 = 24只脚全是兔子的。一只兔子剩下2只脚,则笼子里兔子有24 ÷ 2 = 12只, 鸡有35 - 12 = 23只。

砍足法

假如把每只鸡砍掉1只脚、每只兔砍掉2只脚,则每只鸡就变成了“独角鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”。这样,鸡和兔脚的总数就由94只变成了47只;如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1。因此,脚的总数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即47 - 35 = 12(只)。所以,鸡的只数就是35 - 12 = 23(只)了。

最万能“方程法”

设鸡的数量为x只,则兔子有(35-x)只,有2x + 4(35 - x)= 94,解出x=23,所以有鸡12只,兔子35-23=12只。